实质重于形式原则(本质与实质有什么区别吗)

1. 实质重于形式原则，本质与实质有什么区别吗？

上联，本身本来本源

下联，实际实情事实

横批，1.偏正词组。从语法修辞看，两词中，皆前者为偏为定语，后者为正为主语，皆指向质的规定性，此为两词共同点其一

2.何者为质，质为哲学范畴，即哲学概念，指一事物之所以不同于它事物的内在规定性，即事物的根本属性，此为两词共同点其二

3.有何不同？偏，定语不同，大方向相同，皆指向事物内在根本属性，所有一切事物，皆为外在形式，具体内容，核心旨归三个方面，无生于有，有生一，一生二，二生三，三生万物，古今中外概莫能外。本质，仅指向核心旨归，实质，或指向外在形式具体内容核心旨归的三者之一，或三者之二，或全部，当仅指向核心旨归时，实质与本质的意义相同与重合，当实质指向外在形式具体内容时，则与本质的意义不同区别与分歧，此为两词的不同点所在，古今中外概莫能外。

回答完毕

实质重于形式原则(本质与实质有什么区别吗)

2. 复数的本质是什么？

数的概念扩展

复数

形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复数数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

中文名复数表达式z＝a+bi提出时间公元1世纪相关定理欧拉公式、棣莫佛定理命名者Rene Descartes

外文名complex number提出者Heron of Alexandria应用学科数学所属集合无序集合

简介我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部不等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复数数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

历史最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。

16世纪意大利米兰学者卡尔达诺（Jerome Cardan，1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成

，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。法国数学家棣莫弗（1667—1754）在1722年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家韦塞尔（1745—1818）在1797年试图给予这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早于1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年，Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点，即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年，Buée的文章正式刊出，同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章，而阿冈的复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。

复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、乔治·皮库克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。

德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数。像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定力起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

主要内容

定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d))：

z1+ z2=(a+c,b+d)

z1× z2=(ac-bd,bc+ad)

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记(0,1)=i,则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

形如

的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且

（a，b是任意实数）

我们将复数

中的实数a称为复数z的实部（real part）记作Rez=a

实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b.

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

复数的模

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.

即对于复数

，它的模

共轭复数

释义

对于复数

，称复数

=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作

。

性质

根据定义，若

(a，b∈R），则

=a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反[1]。

共轭复数有些有趣的性质：

复数的辐角

编辑

概述

在复变函数中，自变量z可以写成

，r是z的模，即r = |z|；θ是z的辐角，记作： Arg（z）。在-π到π间的辐角称为辐角主值，记作： arg（z）（小写的A）。

释义

任意一个不为零的复数

的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ<π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argz。辐角的主值是唯一的。

指数形式：

。

6运算法则

编辑

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

即

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即

除法法则

复数除法定义：满足

的复数

叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，

即

开方法则

若zn=r(cosθ+isinθ），则

（k=0，1，2，3…n-1）

运算律

加法交换律：z1+z2=z2+z1

乘法交换律：z1×z2=z2×z1

加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

分配率：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

i的乘方法则

i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（其中n∈Z）

棣莫佛定理

对于复数z=r(cosθ+isinθ），有z的n次幂

zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] （其中n是正整数）

则

7分类

数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类

复数（a+bi）——集合符号C—实数（复数当b=0时）——集合符号R——有理数——集合符号Q（p/q)———①正有理数——集合符号Q+————正整数——集合符号N+或N*—————1—————质数—————合数————正分数———①0———①负有理数——集合符号Q-————负整数——集合符号Z-————负分数———②整数——集合符号Z————（自然数）——集合符号N————奇数————偶数———②分数——无理数———正无理数———负无理数—虚数（b≠0)——纯虚数（a=0)——混虚数（a≠0）

注：①②代表对“有理数”两种不同的分类方式。

8应用

系统分析

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点

位于右半平面，则因果系统不稳定；都位于左半平面，则因果系统稳定；位于虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：

其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）

反常积分

在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。

量子力学

量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

相对论

如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。

应用数学

实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t) =e的基函数的线性组合表示。

流体力学

复函数于流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow）。

碎形

一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Julia set) 是建基于复平面上的点的。

实变初等函数

我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0）时与相应的实变初等函数相同。

注意根据这些定义，在z为任意复变数时，

①．哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来

②．哪些相应的实变初等函数的性质不再成立

③．出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。

复变指数函数

ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)

复数的三角函数

证明：把yi代入泰勒级数，借助

和

来化简即可；

同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna

借助eix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理[2]。

探讨一：

对于这个问题, 我觉得没什么"哲学"的. 数学引发出来的哲学问题不在这里. 而关于计量单位制, 它实际上只是一种规定而已, 比如对于"千克"这个单位, 重要的不是"这个东西究竟有多重", 而是"这东西的质量跟参照物的比值有多大"(不知道的就去查查千克原器). 现在不谈单位的问题, 因为它涉及到跟下文毫无关联的数学内容(齐次函数和\Pi定理等等).下面来就事论事.先不谈虚数单位的定义. 我们来看看数据是如何扩充的.整数抽象自日常的计数. 但是对于"半个馒头"等等的计数问题, 整数无能为力. 把问题精确地写出来, 就是: 多少个(相同的)馒头加在一起是一个馒头? 为此我们需要引入"半个馒头". 换句话说, 我们需要引入方程2x=1的解. 从而我们从直观上知道了什么叫做"有理数". 负数的引入同样是为了解这样的一次方程, 不赘述.[注: 我们觉得有理数很好理解, 不过是因为我们习惯了而已. 数学常常要打破习惯, 从而看到不一样的景色.]但是有理数究竟是什么? 对于正整数, 我们可以从日常的经验中抽象出来它的性质, 例如说"1是一只羊, 一头牛, 一个人......的共有的数量属性"(这句话本身含义不清楚, 但我们先不去管它). 正的有理数可以通过"等分"来直观地理解. 对于"零"和负数, 这种直观认知就已经有点困难了; 回想一下罗马人是如何对待零的. 为了弥补这种语义上的模糊带来的缺陷, 数学家发明了严格的定义; 下面再讲.对于无理数, 问题就更加严重, 因为日常计数问题中没有它的对应物. 实际上, 正如我们所知道的, 最早的无理数来源于几何度量问题: \sqrt2是最为人们熟知的无理数. 但是这依旧可以归结为为方程寻找根. Pythagoras学派遇见\sqrt2就是因为他们要为方程x^2=2寻找根. 这样, 我们从直观上知道了根式的含义.由此立刻产生了问题: 很多具有整系数的二次方程是没有根的(以及更高次的方程). 最简单的例子就是x^2=-1. 在抽象思维还不发达的时期, 这种方程确实是没有什么意思. 但正如我们所知道的, 情况从Cardano的时期开始发生了变化. 这段时间内不断地涌现出当时的数学家们无力解释的对象, 而"-1的平方根"就是一个最明显的例子. 为了使得三次方程有形式统一的求根公式, 不得不引入这个"毫无意义"的"虚数单位". 尽管意义不明确, 数学家们还是依靠虚数单位得到了一系列有意思的结果(当然, 很多时候它不过是一种形式上的运算; 只在实数的范围内并非不可以进行, 只是会麻烦得多).[由此我们可以看到"为方程寻找根"实际上是一个比"定义圆周率"要抽象得多的问题, 因为后者是"客观存在"的(现在不追究这是什么意思, 下文再讲), 而前者却不一定有什么现实对应物].我们知道Euler时期就已经对实数有了模糊的概念(他已经发现了很多跟e,\pi有关的结论), 但对于"虚数", Euler还是不能真正搞清楚, 尽管在形式上他得到了Euler公式e^{ix}=\cos x+i\sin x.[这个公式的含义实际上也不明确; 什么叫把e自乘i次?]Dedekind等人严格地定义了实数, 至此人们总算是能够用不引发歧义的语言来描述实数. 按照现在的观点, 实数其实也只是一个思维对象, 十进制小数和Dedekind分化等等不过是这个思维对象在现实中的实现. 而圆周率等等需要借助几何度量来定义的实数也可以纳入这个逻辑框架之下了, 因为有了分析学的帮助后, 我们就能够说清楚什么是"曲线的长度"了.但是对于"虚数", 不得不承认, 我们还是感到困难, 因为它并没有实在的对应物, 可偏偏在实际问题(流体力学, 传热学, 电学etc)之中有着重要的应用.怎么才能够为方程x^2=-1找到一个合理定义的"解"呢?我们当然可以通过实数域上的二维可除代数来定义复数. 但这样似乎没法做太多的推广. 所以我们换一种方式来考虑问题. 这种方式能够让我们说清楚什么是"添加代数方程的根".对于给定的域k, 考虑上面的多项式环k[x].[注: 回忆一下, 多项式环k[x]定义为无限循环群的系数在k中的(具有有限支撑的)群代数, 不应作为"多项式函数"来考虑.]对于一个不可约多项式f(x)\in k[x], 我们想要找到它的根. 为此, 考虑f(x)生成的理想I. 有不可约性, 它应当是极大理想, 所以商环K=k[x]/I是个域. 它包含了一个同k同构的子域, 所以可以看成是k的一个扩张. 进而, f(x)也可自然地看作是K上的多项式.K中的元素是等价类g(x)+I; 我们来特别地考虑类x+I. 根据商环的运算性质, 我们立刻得到f(x+I)=I. 换句话说, 在域K中, x+I是多项式f(x)的根. 至此, 我们找到了f(x)的一个根. 剩下的不过是通过不断地扩充域来穷尽f(x)的所有根(根据多项式的基本性质, 它在任何域中的根的数目都不可能超过它的次数).这样, 我们知道了"添加代数方程的根"的严格含义. 至于"有理数"的定义, 则要简单得多; 无非就是整环的分式域而已.如果某域上的任何代数方程在这域中都有解, 则这域称作代数闭的. 对于这类域, 研究其上的多项式是一件比较容易的事情; 实际上, 任何多项式都可以分解成线性因式的乘积(Bezout定理).回到复数的情形, 取k=\mathbb{R}, f(x)=x^2+1, 则得到地域扩张就是复数\mathbb{C}. 这个域是代数闭的; 这是所谓的"代数基本定理", 有很多很多的(代数的, 是分析的, 复分析的, 拓扑的,...... )证明, 但代数味道最浓的自然还是基于代数学的证明. 正因为\mathbb{C}是代数闭的, 它才在数学中扮演着举足轻重的角色. 只举最简单的例子. 为了计算某个方阵的100次乘幂, 我们常常需要把它化为Jordan标准型, 而这必须要借助复数来加以实现. 要是不通过复数, 则计算量会大得难以想象.说了这么多, 才发现自己写了很多似乎很"哲学"的话, 之后后面一部分是干货. 但假如前面的"哲学"能够帮助一些人想清楚问题的话, 我也很欣慰.

探讨二：令人困惑的数学定义之二 ——虚数单位i定义

拿负数来开平方有必要吗？有必要！

但是这个问题的完整解答，远不止于“定义：i^2=-1”。

一、笔者首先简要地介绍有理数集：

1、我们有自然数集和加法运算，自然数集对加法运算封闭（两个自然数做加法运算结果还是自然数）。

2、加法运算的逆是减法运算，但是自然数集对减法运算不封闭（不能保证任意两个自然数做减法运算结果还是自然数）；通过定义了负数，把自然数集扩充为整数集；整数集对加法运算和减法运算都封闭（人们认可负数经历了很长的过程，原因是认为负数没有现实意义）。

3、乘法运算的逆是除法运算，整数集对乘法运算封闭，但是对除法运算不封闭；通过定义了分数，把整数集扩充为有理数集；有理数集对加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算（除数非零）都封闭。

4、有理数集更严格的称谓是“有理数域”，但是“域”的解释需要抽象代数的内容，为了通俗起见，笔者就把“有理数域”称为“有理数集”；以上的“集”都是集合的意思，就是同一类数的集合；比如自然数集、整数集。

二、万物皆数与毕达哥拉斯定理：

1、古希腊时期的毕达哥拉斯学派认为”万物皆数“并奉为教义，这里的数指的是有理数；这种信念源于他们对自己构造的有理数集的自信，他们认为有理数集已经包含了所有的数。

2、随后这个学派发现了”毕达哥拉斯定理“，即”勾股定理“，并用面积法给出了证明。

image.png

3、如果”万物皆有理数“的话，那么直角三角形的斜边也应该是有理数；但是毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hipasus)找到了这样的例子并给出了证明：a=1，b=1，由a、b通过勾股定理确定的c不是有理数！有一种说法是Hipasus因为这个发现被逐出了学派，另一种说法是他遭到了学派的屠戮。

4、无论如何，有理数集中没有这样”c“，但是现实中确实存在这样的c，那唯一的原因就是毕达哥拉斯学派创造的有理数集存在缺陷，没有涵盖所有的数！

5、通过添加开n次方运算，把有理数集扩充为实集（实集不是实数集，只是部分实数的集合，这里的实集严格来说只是有理数集的n次代数扩张）。

6、实集对加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算（除数非零）封闭，实集中的正数还对开n次方运算封闭，实集中的负数对开奇数次方运算封闭而对开偶数次方不封闭；特别的，√（-1）不在这个实集中，换言之在这个实集中没有数的平方等于（-1）。

三、是添加定义的时候了吗？

1、那是否应该添加定义”i^2=-1”或是“i=√（-1）”,把上述的实集做成一个更大的数集？

答案是人们认为没有必要！

2、人们认为正数开方是有意义的，因为开方的结果在现实中有这样的元算与之对应。正如√2，人们确实能找到一条长度不多不少恰好是√2的线段。

3、人们认为负数开方是没有意义的，因为开方的结果在现实中没有这样的元素与之对应。当然笔者还说过，那个时代，人们甚至还不认可负数，因为在现实中没有”负“的线段。³√（-2）=-³√（2）只是正数开方的一种”变形“；至于√（-1），那更没有人关心有没有东西与它对应了，因为它没有现实意义。

四、三次、四次方程与求根公式：

1、所谓的方程，就是含有未知量的等式；未知量是数，方程就是代数方程；未知量是函数，方程就是函数方程（例如微分方程和积分方程）；方程的解，就是一个能使方程成立的量；代数方程的解是数，这样的数称为代数方程的根。

2、代数方程里，人们比较关注多项式方程，因为这样的方程与人们的生产生活密切相关；古典数学时期，数学家研究的方程也主要是多项式方程。下文出现的”方程“都特指”多项式方程“。

3、所谓的方程的求根公式，就是用方程的系数通过加减乘除和开方运算来构造根的式子。

4、一次方程和二次方程的求根公式很早就被发现了，人们致力于寻找三次和更高次方程的求根公式。

5、16世纪意大利数学家菲尔洛(Ferro)发现了缺二次项的、即形如x3+px+q=0的三次方程的求根公式。因为当时人们普遍不接受负数，所以实际上Ferro是把缺二次项的三次方程分成了三类：x3+px=q、x3=px+q、x3+q=px，p和q都是正数；他分别给出了解法。

6、有意思的是，当时的数学家之间流行”决斗“（文艺复兴时期的风气？）。所谓的”决斗“，就是相互要求对手解决自己提出的问题。所以Ferro把自己的三次方程求根公式作为决斗时秘密武器，没有发表。也因为这个求根公式，Ferro在决斗中屡屡获胜，名声鹊起。

7、Ferro死前，把自己的秘密武器传授给了学生菲奥尔（Fior)和女婿兼继承人纳威（Nave）。

8、Fior也是一个争强好胜的人，他向当时的数学家塔尔塔利亚（Tartaglia，这不是原名，意为口吃者，Tartaglia孩童时期被法国士兵用马刀砍伤了脸变成口吃）提出挑战。Tartaglia并不知道缺二次项的三次方程的求根公式，但是在挑战的压力下，竟然成功地推导出了一般的求根公式！因此，Tartaglia在与Fior的决斗中大获全胜，因为后者并不会解形如x3+rx2+px+q=0的一般三次方程。Tartaglia名声鹊起。

9、卡尔丹（Cardano）得知这件事后，多次乞求Tartaglia把求根公式告诉他。作为回报，Cardano许诺给予Tartaglia经济上的援助。Tartaglia最终耐不住Cardano的软磨硬泡和利益诱惑，把求根公式以一首晦涩难懂的语句诗的形式告诉了Cardano，并要求Cardano发誓保密。

10、后来，Cardano从Nave那里了解到Ferro的求根公式，认为Tartaglia的求根公式本质上和Ferro的求根公式是一样的（其实一般的三次方程通过一个变量代换就可以转化为缺二次项的三次方程，待会大家就会看到）。

11、所以Cardano不顾自己的誓言，把求根公式传授给了学生费拉里（Ferrari），Ferrari在此基础上竟然发现了四次方程求根公式！

12、Cardano把三次方程求根公式和学生Ferrari的四次方程求根公式发表在了自己的著作《重要的艺术》（Ars magna）。Cardano这样评论道：”Ferro在30年前就发现了这个法则，并把它传给了Fior。是Fior向Tartaglia挑战，使得Tartaglia有机会重新发现这一法则。Tartaglia在我的恳求之下把这个法则告诉了我，但Tartaglia保留了证明，我在获得这种帮助之下找到了它的证明“。

13、接下来就是Tartaglia对Cardano的严厉控诉，谴责Cardano的背信弃义。愤怒的Tartaglia向Cardano提出挑战，而Ferrari代替自己的老师接受了挑战。因为Ferrari已经发现了四次方程的求根公式，所以大败Tartaglia。Tartaglia名声扫地，在争吵和穷困中度过了晚年。

14、三次方程求根公式是枯燥的，但是公式背后的历史是有趣的；笔者无意评论Cardano和Tartaglia孰对孰错，每个读者心中自有看法。

五、三次方程不可约的情况：

1、一般的三次方程为aX3+bX2+cX+d=0，通过变量代换X=x-[b/(3a)]（前文提及的），一般的三次方程可以转化为缺二次项的三次方程x3+px+q=0，求解这个方程就可以了。

2、x^3+px+q=0的求根公式：

image.png

这里笔者就不给出求根公式的推导过程了。

3、注意到⊿要开平方，但⊿并不能保证一定大于0。也就是说，Cardano或是Tartaglia的用加减乘除和开方运算构造的求根公式里，可能要面临负数开平方的困境。

4、为了让读者更清晰地认识到矛盾所在，笔者举一个例子：

三次方程x^3+px+q=0，p=-10，q=6。

函数y=x^3-10x+6的图像大致为

image.png

函数曲线和x轴相交地点的x值，就是三次方程x^3-10x+6=0的根。

通过图像，我们可以清楚地看到这个三次方程有3个实根。

但是，⊿=(1/4)q2+(1/27)p3=-28.037<0！

5、也就是说，实系数的三次方程，对于⊿<0的情况，为了得到3个实根，根据求根公式，必须对负数开平方！这个结果对16世纪的数学家是难以接受的。

6、借助负数开平方得到实根的过程，实在难以让人满意，所以Cardano试图”修正“求根公式来避免这种情况。但是，所有的尝试都失败。Cardano无奈地把这种情况称为”三次方程不可约“情况。

7、为了处理这种情况，Cardano引入了虚数单位i，定义i^2=-1，使得求根公式可以正常运作。

8、那么这样的”修正“是否存在呢？直到19世纪，天才数学家伽罗瓦（Galois）才用他开创性的群论工具才给出答案：不存在！也就是说：”借助负数开平方得到实根的过程“是无法避免的！9 、这里必须强调的是：二次方程的求解之所以没有导致虚数i的引入，原因在于判别式⊿<0时方程确实没有实数解，直观地看就是函数曲线y=ax^2+bx+c与x轴确实没有交点，人们不会有兴趣更不会认为有意义而去为负数开平方动脑筋！

六、总结与反思：

1、数学似乎和所有人开了一个玩笑：当你认为有理数域完备的时候，你发现用自己证明的毕达哥拉斯定理居然发现了一大类怪胎，所以不得不把开方运算纳入系统；当你认为求根公式能解决所有三次方程的时候，你发现三个明显存在的实根居然要借助负数开平方，所以不得不定义”i2=-1”；至于定义了”i2=-1”之后，给代数和分析带来的诸多便利，那已经是后话。

2、这再次验证了笔者的话：“没有哪一位数学家，可以从一开始就预见他所定义创造的东西，能带来多少方便快捷”，或是存在多少缺陷；数学家都是摸着石头过河，一路上很多修修补补。课本中的斟字酌句的描述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个客观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。

3、“i^2=-1”的故事，远不是一个简单的定义所能讲述的.

探讨三：复数最本质的特性是什么？为什么物理上需要，并且能够如此频繁地使用复数？楼上的答案都没有提到这一点，复数最重要的性质是旋转。也就是两个复数的积的辐角等于各自辐角的和。如果没有这一特性，复数在数学和物理上的地位不会像现在这么重要。

image.png

先从原题说起，从根本上来看，为什么i是-1的平方根。如上图复数构成一个平面，实轴和虚轴正交。-1位于实轴负半轴，辐角为π（180度）。开平方，按照前面说的辐角的性质，即是辐角减半，变为π/2，也即虚轴正半轴上的i的位置。另一个解是辐角为3π/2的-i，因为-1的辐角也可以是3π。或者反过来看，一个复数乘以i，就相当于逆时针旋转π/2。那么i^2=1ii，就是把1旋转了2次π/2，正好落在-1上。举一反三，现在大家明白如何从复数旋转的角度，来说明为什么负负得正了吧？

理解了这一点，就很容易明白，为什么复数作为一个不那么自然的，人为发明的数，能够如此好地应用于物理了。比如极其重要的简谐振动，可以看成复平面单位圆上，做匀速圆周运动的点，在实轴上的投影。既然是旋转，那么用时间的指数函数就可以表达了，并且求导非常方便。

探讨四：首先 -1 可以是什么？我们用最简单的例子讲，cos(\pi )=-1按照i的定义，i是-1的平方根，或者i\cdot i=-1，于是我们有：cos(\pi)=i\cdot i接着来：cos(\pi)=cos(\pi/2+\pi/2)=i\cdot i

如果你的代数感觉好，你马上就觉得上面的式子有一些“代数味道”。是的，一个角度为\pi的旋转，可以看作两个角度为\pi/2的旋转之和。i和i的乘法，也有类似的交换群的感觉。索性，我们把式子补齐：cos(\pi)=cos(\pi/2+\pi/2)=-1sin(\pi)=sin(\pi/2+\pi/2)=0

还记得三角恒等式么：cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

针对一个任意角度，把cos部分作为实部，把sin部分作为虚部，用三角不等式就可以构造出复数的乘法，这就是复数乘法的意义。改写成：cos(a+b) + isin(a+b) = [cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)] + i[sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)]也就是教科书上看到的形式：z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} + iy_{1}) \cdot (x_{2} + iy_{2}) = [(x_{1} x_{2}) - (y_{1} y_{2})] + i[(x_{1} y_{2}) - (x_{2} y_{1})]

如果你有兴趣，请玩欧拉公式，去了解这种乘法计算中的各种有趣的地方。

至于i么，其实就是复平面上的一个自然基。i的“全称”是：i=[0, 1]^{T} =[cos(\pi/2), sin(\pi/2)]^{T}

小结一下：在实数上玩的时候（比如代数多项式的根），常常发现数不够用，于是把实数扩张成复平面。复数（域）的运算限制在实轴（域）上都是成立的。i的平方所以是-1，这样理解：平方是同一变换两次合成的结果。把实数乘法单位元1变换成-1（加法群逆元），需要在复数域中表达为一个角度为\pi的旋转变换，或者看作两个角度为\pi/2旋转变换的合成。因此，i只是一个\pi/2旋转变换的结果。

我们刚才都是从代数在讲。我们注意从分析上：cos(x)^{'} = -sin(x)sin(x)^{'} = cos(x)各种导数，都无非是在相位上变换；欧拉公式也能看出，乘除和指对数也都是在相位上变换；就不难理解为什么那么多物理现象需要用复数来描述了。

3. 审计的形式独立与实质独立是什么？

实质独立，比如古时候有些清官审案，大义灭亲。这个官形式上不独立，实质上独立。因为他没有顾及亲情，实质上，真正的，他是独立的。但形式上不独立，因为他审的人是他的亲戚。

我们再做审计的时候，要求形式和实质都要独立。你说，我和一个被审单位有关系，可我就是公正的做审计，这就是实质独立。但，你不可以去做这个审计，因为形式上不独立。别人不相信你会是公正的。你和这个公司有关系啊。只有在实质上独立——你真的独立的去审计，形式上也独立——你和被审单位没有足以影响独立性的关系。这时候，你才做到了实质与形式都独立了。好，那你可以去审计这个单位了。

不知道我说的是否清楚。小弟学会计学专业的，非审计专业，不对的地方还请不吝赐教。

4. 国考公考省考都是什么意思？

导语

随着社会的发展，高等教育的不断普及，2015年以来，高校毕业生呈数学模型“J ”字型增长，2019年高校毕业生800多万，有关专家预计，2020年高校毕业生将首次突破1000万，随着学生就业压力不断加大，越来越多的学生选择考公务员、事业单位、三支一扶、特岗、大学生村官等。但是许多考生参加国考、省考等，却不知道公考、国考、省考是什么，下面，小编就和大家一起来探讨一下这个问题。

国考是什么？

国考是有国家组织的公务员考试，目的是选拔优秀人才作为储备干部到国家党政机关工作，其编制类型为行政编制（除参公单位以外），国家公务员考试目前分为中央机关省级以上机关考试和中央国家机关地市级考试，两者在题量，难度方面均有差别，前者135道题，后者130道题，考试时间行测均为2小时，申论均为3小时，其考试题型一致。

什么是省考？

省考是指由省委组织部、省人社厅、省公务员局组织的为省、市、县、乡镇选拔党政机关干部的考试，其编制类型为行政编制（除参公单位以外），考试科目和国考相同，题型相同，题量略小于国考题量，一般为120道题。目前省考考试分为联考和自主考试，联考是指由多个省市在同年同月同日举行考试，考生只能参加一个省市的公务员考试。

公考包含哪些考试呢？

广义的公考是指所有的国家机关选拔储备干部为国家服务的考试，包括公务员考试、事业单位考试、三支一扶考试、特岗、大学生村官、西部计划等。狭义的公考是指国家公务员考试、省级公务员考试和事业单位考试。

公考、国考、省考之间的关系

公考包含国家公务员考试和省级公务员考试，但公考并不是有国考和省考组成的，其还存在多种考试，公考是有多种考试组成的。国考和省考均为公务员考试，两者相差不大，在待遇，晋升方面，国家公务员更有优势。

如何进行公考备考呢

首先要熟读考试大纲，明确公考考试科目，可是内容，考试题型；然后通过多种方式，选择合适的备考资料，认真备考；其次在备考过程中做好笔记，坚持做题，寻找不足，查漏补缺；最后进行总结，真题练习，强化训练。

总结

公考指国家机关选拔公职人员的所有考试，国考指国家公务员局组织的国家公务员考试，省考是指由省委组织部、省人社厅、省公务员局组织的考试，其三者的关系为公考包括国考和省考，国考与省考在待遇、晋升等若干方面相差不大！

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5. 能量的本质是什么？

我就纳闷了：有标V者，竟把能量说成是一种物质，莫非物理是跟体育老师学的？

能量，与质量、动量、电量、速度、温度、梯度...一样，只是反映物质属性的参量。

照其逻辑，能说动量、电量...是一种物质么？能说速度、温度...是一种物质么？

更有甚者，理论界竟有把“暗能量”与“暗物质”并置，真可谓稀里糊涂一锅粥。

不顾基本逻辑，不讲物理方程，不讲严谨自洽，如此的不管不顾，奢谈什么科普？

我心疼涉世不深的莘莘学子，你是国家的未来与希望，动动脑子，不要人云亦云。

本文，先讲能量的概念与分类，再讲物系的概念与分类，最后揭示能量的本质。

1【能量】与【物质】的区别

先厘清一些概念。物理学的研究物质的存在形式与运动方式，这句话，有两个要点：

其一，物质的存在形式，也叫「物态」、组织结构，即有关成分组成物质的空间分布。物质的结构性参量，如：质量、电量、坐标、尺度、密度、弹性、硬度、粘度。

其二，物质的运动方式，也叫「规律」、动力学方程，即运动与受力的函数关系。物质的运动性参量，如：能量、动量、角动量、转动惯量、位移、作用力、周期。

显然，能量只是用来测量物质运动规模的物理量，不是一种独立的物质存在形式。

例如，电子是一种物质，电子动能是赋予电子的能量，不能说「动能」转为「电子」。

例如，电场是一种物质，电势能是赋予电场的能量，不能说「电势能」转为「电场」。

2「能量」与「能源」的区别

两个术语都是外来语energy。构词分析：en=in(内含)，erg=work(功能)，y特性。意思：energy是物质含有特定功能的属性。

能源，是以震荡生产能量的物系。能量总要在空间以波动的方式传递。

物体能量的构成，包括自身携带的「固有势能」与「可变动能」，即：

E=Ep+Ek...(1)

固有势能（inner potential）是保证物质自我存在的能量，这部分能量，与质量相对应，是不可利用的那部分「内能」。

如，电子自旋势能Ep=m₀c²=0.511MeV，只够电子以光速自转以实现自我成球。

固有势能是不可以作为能源来开发利用的，这也是不可能造出此类永动机的原因。

如，氢气(H₂)燃烧后的产物(CO₂+H₂O)，不可以作为可再生的二次能源。

如，地球或磁铁的引力势能是所含亚原子维持独立的叠加效应，不可作为永动机能源。

可变动能（variable kinetic），是可利用或可增减的能量。可变动能有两种类型：

其一：零点参照系的高位势能（Uᵧ）

例如，天池的高水位势能，可变成水流动能。电池的高电位势能，可变成电流动能。

高位势能，总是面向零点参照系。即：假设零点参照系的势能为零（U₀=0），其转化的动能表达式为：

△U=Uᵧ=Ek=½mv²...(2)

其二：外力做功引起的动能增量（△Ek）

根据热力学原理，一个物系，若被外力作功或加热(W)，则获得动能增量(△Ek)：

W=△Ek=½m△v²...(3)

此时的物系，要么还保持静止或匀直运动，物系内能有变；要么物系加速或减速运动。

由此可见，可变动能包括高位势能与增量动能，会改变微观或宏观状态。总之：

固有势能不是能源，是不可利用的能量；可变动能是能源，是可以利用的(±)能量。

这只是初步，下面更进一步。

3 物系的理解：狭义物系、广义物系

物系(material system)，是动力学研究的具有特定物态的系统，有时也叫体系。

物系的对立面，即与物系相应相关的物系，叫环境(circumstances or surroundings)。

物系的范畴，涉及能量守恒与转换，涉及量子场效应，必须有精准的定义。

3.1 狭义物系，是不够严谨的

狭义物系(narrow system)，经常称为物体(body)，是不含附近空间的裸体对象。单说物体，有时是不够严谨的。

例如，不含大气层或者不含辐射带的地球，不含附近被激发场效应的电子或核子。

狭义物系或物体的总能量公式，写成：

物体总能量=固有势能+可变动能，可变动能=高位势能(△U)+动能增量(△Ek)：

E=Ep+Ek=Ep+△U+△Ek...(4)

E=mc²+½mv₁²+½m△v₂²...(5)

3.2 广义物系，涉及场效应

●广义物系的定义

物体或本体(proper body)不是赤裸裸的独个，它有自己的引力场与运动空间。

我们把一个实体及其附近的场空间，称为该实体的物质系统，简称「物系」，相比单一物体而言，也叫广义物系(wide system)。

例如，「地球系」是以地球为中心的连同大气层与辐射带与引力场在内的系统。地球引力场可以远到拉格朗日平衡点，离地约150万千米。

又如，「电子系」是以电子本体为中心的连同电子切向运动所扰动的场空间在内的系统。电子引力场空间可延伸到不处于主控地位为止。

●物系涉及的场效应

场效应(field effect)，特指实体运动因扰动附近真空场而激发场波动的现象。

场波动(field fluctuation)，主要有：引力波(因电子自旋)、电磁波(因电子进动)、机械波(大粒子震荡)、电流(因电子接力传动)、脑波(因细胞电荷簇震荡)。

根据热力学第一定律与光电效应原理，实体运动的平均动能，同时激发电磁辐射能：

½mv²=1.5kT=nhc/λ...(6)

k为玻尔兹曼常数，n=q/e=m/m₀是电子电荷或电子质量的当量数，h是普朗克常数，λ是实体切向运动所激发的光子波长。

就「原子系」而言，既有核外电子与原子核，还有电子震荡激发的原子光谱。

单独考虑原子系的总能量(E)：既有亚原子的固有势能(Ep)，也有各自的可变动能(Ek)，还有各自激发的电磁辐射能(Eγ)：

E=Ep+Ek+Eγ...(7)

Ep=nm₀c²+nmₚc²+?mₙc²...(8)

Ek=½nm₀vₑ²+½nmₚvₚ²+?½mₙvₙ²...(9)

Eγ=nhfₑ+1836nhfₚ+?1840hfₙ...(10)

深入研究发现，「核子系」的能量，包括核内电子的固有势能与它们以光速震荡的动能与共时激发的电磁辐射能。详见笔者文章下的《叠加原理及其应用(第2集)》。

4 能量的本质是电荷运动的「场效应」

4.1 能量传递的基本原则

原则1：能量的转换或传递，不可以超距方式从一个实体传到另一个实体。

原则2：「物体」含「分子」含「原子」含「亚原子」含「电荷」。物体之间的相互作用，其实是电荷之间的相互作用。

原则3：电荷之间的相互作用，只能通过以借助「场空间」来承载并传递给对方电荷。

4.2 「电荷运动激发场效应」的完整表述

电荷的运动，扰动或挤压了场空间，进而激发场空间的波动，此称场效应。

场效应主要表现为：引力场效应(或引力波)、电磁场效应(或电磁波)、温度场效应(如机械波)、细胞电池场效应(如脑波)。

单一电子运动，激发「场量子效应」。场量子可分类为引力子、光量子、声子，它们都是传递能量的传播子(propagator)。

4.3 典型的场量子效应

其一：电子的光速自旋有南北极负压差，扰动了真空场，激发的「引力子效应」为：

Ep=m₀c²=hc/λ₀...(11)

其中，λ₀=2.42×10⁻¹²m=2.42皮米，是引力子的初始波长，拓扑的引力子半径为

r₀=λ₀/2π=0.39皮米...(12)

其二：核外电子的切向震荡，挤压附近的场空间，激发的「光量子效应」为：

Ek=½m₀v²=hc/λ...(13)

λ=2hc/m₀v²...(14)

r=λ/2π=(hc/πm₀)/v²...(15)

可见，光子半径与电子切向速度平方成反比，光子对电子速度非常敏感。

其三：大质量粒子的切向震荡(v)，其实是所含电子以伴随速度(v)，挤压温度场，激发的「声量子效应」为：

Ek=½nm₀v²=nhc/λ...(16)

λ=2hc/m₀v²...(17)

可见，声子波长(也是光子波长)只与大粒子切向速度有关，与其质量无关。

声子，是机械震荡的传播子或光子，属于机械波的「光学支」，而大粒子激元(exviton)对应的是「声学支」。

例如，空气传递声波的工作原理：分子之间的真空场距离很大，分子之间不可能直接碰撞，所含电子之间也不可能直接碰撞，而是通过电子激发场效应的声子或光子来传递分子动能。声学支的分子运动速度(v₁)<<光学支的声子波动速度(v₂=c)。

5 「电运动」与「场波动」互为因果

电子电荷的切向运动，简称电运动。场效应波动传递，简称「场波动」或「场辐射」，二者之间共时关联、互为因果，即：

【电运动】↹【场波动】

即，电运动可以激发场波动，反过来，场波动也可以激发电运动。

例如康普顿散射效应，用高频电磁波照射电子，电子加速运动，光子偏折而降频红移。

当高频电磁波路过太阳大气层(等离子晕环)附近时，会发生光线偏折，这是康普顿散射效应，与时空弯曲无关。

6 关于「宇宙能量的起源」

这个话题，等同于「宇宙的起源」。以下谈谈个人意见，有以下几个要点。

6.1 哈勃常数的「类星体的退行性红移」可替换为「电磁波的熵增性红移」

由于类星体(quasar)释放的等离子体如自由电子(electron)，不可能一直以初速度(v₀≈c)在深太空旅行若干亿年，而必然会渐渐减速，所激发的电磁波也会随之降频红移，因为它必然从高能态发散到真空场的低能态，服从熵增加原理。

类星体退行速度v(q)其实是自由电子的减速度v(q)。其常数H₀(q)可替换为H₀(e)，即：

把原常数：H₀(q)=74km/s/Mpc

应替换为：H₀(e)=74km/s/Mpc...(18)

有：H₀(e)=3.76×10¹²Hz/Hz/Mpc...(19)

即，电子减速激发的光子频率，因光子波动每1Mpc(326万光年)而降频3.76万亿倍。换句话说，退行性或宇宙学红移皆不成立。

6.2 如果【熵增性红移】成立；那么宇宙就是固有的，「宇宙的起源」是无意义的。

其1，只有可观测宇宙才有意义。无穷大宇宙，既无法测量验证，也无法计算推理。

根据式(19)，若在月球背面建设的射电望远镜可接收并识别波长为千米级的电磁波，则可观测宇宙的半径大约是536亿光年。

其2，搞清可观测宇宙足以满足人类对「识破天机」的最大进取心与「最高福祉」。

可观测宇宙的成份，不外乎是两大类：

①形态大大小小的「高密度天体」，诸如：超新星或黑洞、磁星与脉冲星、大小恒星、大小行星、流星雨、星际物质，

但归根结底，都是作为基元粒子的电子的叠加产物。电子实体的内空间是最高密度的真空场，核子内部是次高密度的真空场、原子内部是较高密度的真空场，万物皆空。

②能密千差万别的「低密度真空」。黑洞附近有最高的低密度真空场，地球附近的大气层附近有较高的低密度真空场，地球辐射带有较低的低密度真空场，微波背景辐射带有极低的低密度真空场。

其3，实体内部的能密分布与实体外围的能密分布，具有共时关联的动态平衡的超对称关系。

总之，还是请大家深刻领会中国古代先贤的大智慧：色空亦空、四大皆空；聚则成器，散则成气。

（完）

6. 教育学中形式教育学派和实质教育学派的代表人物分别是？

形式教育是18世纪欧洲的一种教育学说，它认为普通教育的主要认为就是训练感官能力、发展能力，并据此设置课程和选择教材，而知识的传授无关紧要。这种教育理论以英国的教育家洛克为代表。

实质教育又称“实质训练”，是欧洲18~19世纪，对立于形式教育而出现的一种教育学说。它认为普通教育应以获得有价值的知识为主要任务，而学习知识本身就包含着能力的培养，能力无须加以特别训练。其思想来源与英国的斯宾赛等人。同形式教育相对。认为教育的主要任务在于使学生获得知识。它是资产阶级关于普通教育设置学校课程和选择教材的一种教育理论，主要代表人物是赫尔巴特和斯宾塞。